เกมส์คณิตศาสตร์

เกมคณิตศาสตร์ (1)

ในแวดวงของผู้ที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์โดยตรงแล้ว หลายคนคงจะเห็นตรงกันว่า มีอยู่วลีหนึ่งที่เป็นปัญหาสำหรับผู้ถามและผู้ตอบอยู่เสมอ ทั้ง ๆ ที่วลีนั้นเป็นวลีธรรมดา ๆ ที่ดูแล้วก็ไม่น่าจะเป็นปัญหากันเลย

"หาค่าไม่ได้"

เพียงวลีสั้น ๆ เท่านี้ แต่บางครั้งก็สร้างปัญหาได้เหมือนกัน ถ้านักเรียนจะเป็นผู้ตอบว่า "หาค่าไม่ได้ครับ"หรือ"หาค่าไม่ได้ค่ะ" หรือบางครั้งตอบสั้น ๆ ว่า "หาไม่ได้"

ก่อนจะคุยถึงคำ ๆ นี้ เรามาลองดูเกมที่เป็นปัญหาที่น่าคิดกันหน่อยก่อนก็แล้วกัน

คุณหาได้หรือเปล่า ! เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งให้ ให้คุณเขียนจำนวนนั้นใหม่ ในรูปของผลบวกของจำนวนเต็มต่าง ๆ ที่เรียงติดกัน (ซึ่งอาจจะเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่ติดกัน หรือมากกว่า 2 จำนวนก็ได้) ดังตัวอย่าง เมื่อกำหนด 7 ให้จะเขียนได้เป็น 3 + 4 15 จะเขียนได้เป็น 4 + 5 +6 หรือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ก็ได้ 21 จะเขียนได้เป็น 6 +7 + 8

ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ครูอาจจะใช้สอดแทรกในระหว่างการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อเป็นการเปลี่ยนบรรยากาศบ้างก็คงจะดีนะครับ บางทีในชั่วโมงที่นักเรียนว่าง แทนที่จะให้นักเรียนเล่นกันส่งเสียงดัง ครูอาจจะนำเกมปัญหานี้ไปใช้เพื่อลดพฤติกรรมที่ไม่พึงประสงค์เสียบ้างก็ยังได้ แต่ก็คงต้องเลือกตัวปัญหาที่ต้องใช้ความคิดกันหนัก ๆ หน่อย เช่น 22   48   80 เป็นต้น ซึ่งคงไม่ลำบากสำหรับผู้ตั้งโจทย์ปัญหาเท่าใดนัก

แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้ครับ" หรือ "หาไม่ได้ค่ะ" แล้วจะทำอย่างไร ถ้าเราจะฝึกหัดให้นักเรียนเป็นคนช่างคิด ก็คงจะไม่ปล่อยให้คำถามนี้ผ่านไปเฉย ๆ คงจะต้องมีการถามกันต่อไปอีกนิดหน่อยว่า ที่ว่า "หาไม่ได้" นั่น หมายถึงอย่างไรเพราะบางทีคำว่า "หาไม่ได้" นั้นหมายความว่า นักเรียนจนปัญญาเสียแล้ว คิดไม่ออกว่าจะหาด้วยวิธีไหนดี แต่บางครั้งก็ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้นเสมอไป อาจจะหมายความว่า ไม่มีคำตอบก็ได้ และที่ว่าไม่มีคำตอบก็ไม่ได้หมายความว่า นักเรียนคิดคำตอบไม่ออกบอกไม่ถูก แต่หมายความว่า คำตอบไม่มี ซึ่งยิ่งฟังก็ยิ่งยุ่ง 

ลองมาดูตัวอย่างก็แล้วกัน คงพอทำให้หายยุ่งได้บ้าง "tan 90o มีค่าเท่าไร" คำตอบคงเป็นทำนองนี้ หาค่าไม่ได้.... ไม่มีค่า... หาไม่ได้... ซึ่งหมายรวมไปถึง ไม่มีความหมาย หรือในที่สุดอาจมีผู้ตอบว่า ไม่นิยาม (นักเรียนหลักสูตรใหม่คงไม่ตอบว่า มีค่ามากมายมหาศาล หรือ อินพินิตี้ (infinity, ) นะครับ ถ้าตอบมาเห็นทีจะต้องมีคำถามต่อไปเป็นชุด ๆ แน่) "ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 2) และ (1, 5) มีค่าเท่าใด" "จำนวนนับที่มากที่สุดคือจำนวนใด" "10 หารด้วย 0 เท่ากับเท่าใด" "จำนวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 7 คือจำนวนใด" คำตอบที่ได้ก็คงจะเป็นแบบเดียวกับข้างต้น ซึ่งมีความหมายว่า "ไม่มีคำตอบ" แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" หรือ "หาค่าไม่ได้" ในอีกความหมายหนึ่งที่ว่ายังคิดไม่ออก หรือหมดปัญญาเสียแล้ว ก็คงจะต้องชี้แนะกันต่อไป ประเด็นที่สำคัญก็คือ ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" ในความหมายข้างต้นที่ยกตัวอย่างมา นักเรียนควรจะบอกเหตุผลตามหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ได้ด้วย จึงจะนับว่ามีประโยชน์ ลองมาคิดเกมปัญหากันอีกสักปัญหานะครับ "จงหาจำนวนคี่มา 5 จำนวนซี่งเมื่อรวมกันแล้ว ได้ 64" หาได้หรือยังครับ ยากไปไหมเอ่ย มีใครอยากจะตอบว่า "หาไม่ได้"บ้างหรือเปล่า ถ้าอยากตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะยังคิดไม่ออกหรือคิดไม่ได้ ก็ลองหยุดคิดสักพัก แล้วค่อยพยายามใหม่อีกครั้งนะครับ แต่ถ้าตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะมันเป็นไปไม่ได้ หรือ เพราะว่าไม่มีคำตอบ ก็ต้องขอถามต่อว่า มีเหตุผลอย่างไรที่ตอบว่า ไม่มีคำตอบ หรือไม่มีทางทำได้ เหตุผลที่คุณคิดเป็นอย่างนี้หรือเปล่า เนื่องจากสิ่งที่ต้องการให้หาคือจำนวนคี่ 5 จำนวน ที่รวมกันแล้วได้ 64 แต่เราทราบแล้วว่า "จำนวนคี่ใด ๆ 2 จำนวน รวมกันผลบวกย่อมเป็นจำนวนคู่ "และ "จำนวนคู่ใด ๆ 1 จำนวน รวมกับจำนวนคี่ใด ๆ 1 จำนวน ผลบวกต้องเป็นจำนวนคี่"

กฎเกณฑ์ทั้ง 2 ประการนี้คงจะเห็นได้ชัดเจน ถ้าจะให้พิสูจน์ได้ไม่ยากนัก

ดังนั้น เมื่อนำจำนวนคี่จำนวนที่ 1 รวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 2 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคู่ และเมื่อรวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 3 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคี่ และเมื่อรวมกับจำนวนที่ 4 ผลรวมก็จะเป็นจำนวนคู่ ซึ่งเมื่อรวมกับจำนวนที่ 5 ผลรวมย่อมต้องเป็นจำนวนคี่เสมอ ซึ่งไม่มีโอกาสที่จะเท่ากับ 64 ซึ่งเป็นจำนวนคู่ได้เลย

เกมปัญหาทำนองนี้ ครูผู้สอนอาจจะนำไปให้นักเรียนลองคิดดูเล่น ๆ หรือใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับวลี "หาค่าไม่ได้" ก็ได้ โดยอาจจะบอกนักเรียนว่า ถ้าใครคิดได้ จะเพิ่มคะแนนเก็บให้สัก 10 คะแนน นักเรียนก็อาจจะอยากคิดกันบ้างกระมัง และถ้านักเรียนบอกเหตุผลได้ การที่จะให้ 10 คะแนนก็ไม่น่าเสียดายใช่ใหม่ครับ 

---

* ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์

ที่มา: วารสาร สสวท. ปีที่ 12 ฉ.3 เมย. - มิย. 2527

เกมคณิตศาสตร์ (2)

ผู้เขียนเคยเสนอเกมคณติศาสตร์ในลักษณะต่าง ๆ กัน เช่น เกมที่มีผู้เล่นคนเดียวเป็นผู้แก้ปัญหาที่ตั้งขึ้น ทั้งในรูปของโจทย์ปัญหา และปัญหาที่ต้องใช้อุปกรณ์ ซึ่งกล่าวได้ว่าเป็นเกมที่ผู้เล่นแข่งกับตัวเอง เกมที่มีผู้เล่น 2 คนแข่งขันกัน เพื่อหาผู้ชนะหรือผู้แพ้ ซึ่งผู้เล่นทั้งสองคนจะเล่นเกมในลักษณะเดียวกัน ครั้งนี้เป็นเกมคณิตศาสตร์ที่มีผู้เล่น 2 คน หรือมากกว่า 2 คน ซึ่งไม่อยู่ในรูปของการแข่งขัน แต่เป็นเกมในลักษณะที่คล้ายวิทยากล กล่าวคือ มีผู้เล่นคนหนึ่ง ซึ่งจะเรียกว่า ผู้ทาย และผู้เล่นคนอื่นที่เหลือเรียกว่า ผู้ตอบ ผู้เล่นที่เป็นผู้ทายนั้นจะแสดงเสมือนว่าเป็นผู้วิเศษ หรือมีตาทิพย์ หรือมีสมองจดจำเยี่ยมยอด หรือสามารถจะสั่งให้เกิดอะไรได้ตามที่ผู้ทายต้องการ ลักษณะของเกมประเภทนี้บางท่านอาจจะเคยได้ยินหรือได้เล่น ได้แก่เกมทายอายุ ทายเงินในกระเป๋า ทายปี พ.ศ. ที่เกิด ฯลฯ

การเล่นเกมในลักษณะดังกล่าวมานี้นั้น ตามความเป็นจริงแล้ว ผู้ทายไม่ได้เป็นผู้วิเศษหรือผู้เก่งกาจแต่อย่างไร เป็นเพียงแต่ว่า ผู้ทายรู้หลักเกณฑ์ หรือทฤษฎีนั่นเอง จึงสามารถทายได้ เกมในลักษณะนี้ บางครั้งเมื่อผู้ทายแสดงไปเพียงครั้งเดียว ผู้ตอบอาจจะจับกฎเกณฑ์ได้ แต่ถ้าผู้ทายรู้จักดัดแปลงกฎเกณฑ์ตามหลักคณิตศาสตร์ ก็จะทำให้ผู้ตอบจับกฎเกณฑ์ได้ยากขึ้น

ตัวอย่างของเกมประเภทนี้ ได้แก่ เกมทายเลขบ้านและอายุ

ผู้ทายให้ผู้ตอบทำตามคำสั่งแต่ละขั้นตอน ดังนี้

ขั้นที่ 1	ให้ผู้ตอบนึกเลขบ้านไว้	(สมมติว่าผู้ตอบอยู่บ้านเลขที่ 48)
ขั้นที่ 2	คูณจำนวนที่นึกด้วย 2	( 2 x 48 = 96 )
ขั้นที่ 3	บวกด้วย 5	( 96 + 5 = 101 )
ขั้นที่ 4	คูณด้วย 50	( 101 x 50 = 5050 )
ขั้นที่ 5	นำอายุของผู้ตอบไปบวก	( สมมติว่า 22 ปี 5050 + 22 = 5072 )
ขั้นที่ 6	บวกด้วย 365	( 5072 + 365 = 5437 )
ขั้นที่ 7	เอา 615 ไปหักออก	( 5437 - 615 = 4822 )
ขั้นที่ 8	ให้ผู้ตอบบอกผลลัพธ์ที่ได้	( 4822 )
ขั้นที่ 9	ผู้ทายบอกว่าตัวเลขในหลักหน่วยและหลักสิบคืออายุ และตัวเลขที่เหลือคือเลขบ้าน	( อายุคือ 22 บ้านเลขที่คือ 48 )

ตามตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ผลลัพธ์สุดท้ายที่ผู้ตอบบอกผู้ทายจะเป็นตัวบ่งถึงคำตอบที่เห็นได้ชัดแจ้ง ซึ่งในกรณีนี้ ผู้ตอบอาจจะเห็นว่าผู้ทายไม่ได้เก่งเท่าที่ควร เพราะได้เห็นผลลัพธ์ ซึ่งแสดงถึงอายุและเลขบ้านไว้แล้ว ในทางตรงกันข้าม ถ้าหากผู้ตอบให้ผู้ทายทำตามขั้นตอนที่ผู้ทายเป็นผู้สั่งให้ทำ ผู้ตอบก็จะบอกอายุและเลขบ้านของผู้ทายได้เช่นกัน เกมนี้จะดูน่าเชื่อถือในความสามารถของผู้ทายได้มากขึ้นถ้าเพิ่มเทคนิควิธีบางอย่างเข้าไป เช่น ในขั้นที่ 8 แทนที่จะให้ผู้ตอบบอกผลลัพธ์ ผู้ทายอาจจะให้ผู้ตอบนำ 1001 (หรือจำนวนอื่น) ไปหักออกจากผลลัพธ์นั้นก่อน แล้วจึงให้ผู้ตอบบอกผลลัพธ์สุดท้าย จากตัวอย่างข้างต้น จะได้ 4822 - 1001 = 3821 เมื่อผู้ตอบบอกผลลัพธ์ว่า 3821 ผู้ทายก็นำ 1001 มาบวกกับผลลัพธ์นั้นในใจ จะได้ 4822 ซึ่งจะทำให้บอกอายุและเลขบ้านได้ โดยที่ผู้ตอบจะมองหากฎเกณฑ์ในการทายได้ยากขึ้น มาถึงตอนนี้ ท่านอาจสงสัยว่า เราใช้กฎเกณฑ์อะไรทางคณิตศาสตร์ในการเล่นเกมประเภทนี้ ท่านควรทดลองเล่นเกมข้างต้นนี้สัก 2-3 ครั้ง แล้วลองคิดดูซิว่า เราใช้กฎเกณฑ์หรือความรู้ทางคณิตศาสตร์อะไรที่ยืนยันได้ว่า เมื่อคำเนินการมาถึงขั้นที่ 8 แล้ว จะได้ตัวเลขที่แสดงถึงอายุและบ้านเลขที่ได้ทุกครั้ง ลองดูก่อนนะครับ เป็นอย่างไรบ้างครับ เห็นกฎเกณฑ์ที่ใช้แล้วใช่ไหมครับว่าง่ายนิดเดียว ใช้ความรู้ไม่เกินระดับมัธยมต้น ก็พอจะพิสูจน์ได้โดยใช้เรื่องสมการ (Equation) และเอกลักษณ์ (Indetity)

ลองดูกันต่อไปว่า ท่านพิสูจน์ หรือค้นหากฎเกณฑ์ตามวิธีการดังนี้หรือเปล่า

เกมในลักษณะเช่นนี้มีอยู่มากมาย ซึ่งถ้าผู้ทายมีเทคนิคการทายที่ดีก็จะทำให้น่าสนใจมาก แต่ทั้งผู้เล่นและผู้ทายที่เล่นเกมนี้ควรจะฝึกหาหลักเกณฑ์หรือเกณฑ์ในทางคณิตศาสตร์ที่นำมาอ้างอิงกฎที่ใช้ในการทายให้ได้ด้วย ก็จะมีประโยชน์มากกว่าที่จะเล่นกันเพียงเพื่อความสนุกเท่านั้น เพราะนอกจากจะเป็นการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เรียนมาแล้ว อาจจะทำให้ค้นพบหลักเกณฑ์หรือเทคนิคในการเล่นเกมใหม่ ๆ ได้ด้วย

มีข้อสังเกตอย่างหนึ่ง ซึ่งผู้เล่นมักจะลืมหรือละเลยความสนใจไปก็คือ ข้อกำหนดหรือขอบเขตของกฎเกณฑ์ที่นำมาใช้ จนบางครั้งผู้เล่นเอง เมื่อเล่นไปแล้วเกิดข้อผิดพลาดเกิดขึ้น เนื่องจากผู้เล่นนำกฎเกณฑ์ไปใช้เกินขอบเขตที่กำหนดไว้ จากเกมข้างต้นที่กล่าวมา มีปัญหาที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือ ถ้าเลขบ้านที่ผู้ตอบคิดไว้เป็นเลขที่มากกว่า 2 หลัก หลักการคิดดังกล่าวจะยังคงใช้ได้หรือไม่ เพราะในการแสดงวิธีคิดนั้น ผู้เขียนได้แสดงเฉพาะในกรณีที่บ้านเลขที่เป็นเลข 2 หลักเท่านั้นถ้าจะให้มั่นใจว่ากฎเกณฑ์เดียวกันนี้จะใช้ได้ ก็ควรจะมีการพิสูจน์กฎเกณฑ์ดังกล่าวในกรณีที่เลขบ้านเป็นเลข 3 หลักหรือ 4 หลัก ฯลฯ ด้วย ขอให้ผู้อ่านลองพิสูจน์กฎเกณฑ์ด้วยตนเองในกรณีที่เลขบ้านเป็นเลข 3 หลัก ( โดยการกำหนดให้เลขบ้านเขียนในรูป abc ซึ่งในที่นี้ไม่ได้หมายถึง a คูณกับ c แต่เป็นลัญลักษณ์แทนจำนวน ซึ่งมีค่าเป็น 100a +10 b +c )

ลองพิจารณาเกมทายเลขสามหลักดังต่อไปนี้

สมมติว่าผู้ตอบเขียนเลข 3 หลัก 1 จำนวน ผู้ทายจะทายว่าเป็นเลขอะไร โดยให้ผู้ตอบทำตามคำสั่งตามลำดับขั้นดังนี้

ขั้นที่ 1	เขียนเลข 3 หลักในกระดาษทด (อย่าให้ผู้ทายเห็น)
ขั้นที่ 2	คูณด้วย 2
ขั้นที่ 3	แล้วบวกด้วย 3
ขั้นที่ 4	นำผลลัพธ์ในขั้นที่ 3 มาคูณด้วย 5
ขั้นที่ 5	บวกด้วย 5
ขั้นที่ 6	แล้วคูณด้วย 10
ขั้นที่ 7	บอกผลลัพธ์ที่ได้ให้ผู้ทายรู้ ผู้ทายจะบอกได้ทันทีว่าผู้ตอบเขียนเลขอะไร

สมมติว่าผู้ตอบ ตอบว่าผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นที่ 7 เป็น 41000 ท่านทราบไหมว่าผู้ตอบเขียนเลข 3 ตัว เป็นเลขอะไร ลองคิดดู

---

ที่มา: ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์

วารสาร สสวท. ปีที่ 11 ฉ.3 เมย. - มิย. 2526

เกมคณิตศาสตร์ (3)

หลายคนคงจะเคยได้ยินคำกล่าวที่ว่า อะไรที่ไม่ค่อยได้ใช้งานมักจะชำรุดหรือทรุดโทรม ตัวอย่างที่พบเห็นกันง่าย ๆ เช่น หอพัก บ้านพัก หรือโรงแรม ซึ่งที่พักใดที่ไม่มีผู้ใช้ ปล่อยทิ้งไว้เฉย ๆ ก็จะดูทรุดโทรม รกรุงรัง ไม่ได้รับการปรับปรุงหรือซ่อมแซม และเมื่อต้องการใช้ ก็ใช้ไม่ได้ดังใจ ต้องเสียเวลามาทำการซ่อมแซม ปัดกวาด เช็ดถูกันเป็นเวลานานจึงใช้การได้ สมองของคนเราก็เช่นกัน ถ้าไม่ได้ใช้หรือฝึกคิดแก้ปัญหาอยู่เสมอ ๆ เวลาจะใช้ก็อาจนึกไม่ออก และคิดไม่ได้ตามที่ต้องการ

ในการเรียนการสอน สิ่งหนึ่งที่เป็นหน้าที่ของครูที่จะต้องทำก็คือ การพัฒนาสติปัญญาและสมองของนักเรียน ฝึกหัดให้นักเรียนได้มีโอกาสใช้ความคิด ฝึกการแก้ปัญหา ซึ่งในการฝึกดังกล่าว จะต้องมีหุ่นให้ฝึก ให้ทดลองแก้ปัญหา เช่นเดียวกับการฝึกในเรื่องอื่น ๆ เป็นต้นว่า ถ้าต้องการฝึกหัดตัดผม ดัดผม หรือแต่งผม ก็ต้องหาหุ่นศีรษะคนหรือผลปลอมของคนมาให้ ถ้าต้องการจะฝึกหัดขับรถ ก็ต้องหารถยนต์ให้ได้ทดลองขับ

ในเรื่องของการฝึกสมองหรือฝึกความคิด เพื่อให้เป็นผู้ที่คิดเป็น มีขั้นตอน หรือมีระบบในการคิด มีความสามารถในการตัดสินว่าสิ่งใดควรนำมาพิจารณา ตลอดจนไฝ่หาแนวทางในการแก้ปัญหา ปัญหาทางคณิตศาสตร์ถือได้ว่าเป็นหุ่นชนิดหนึ่งที่เหมาะสมสำหรับการฝึกหัดคิด ฝึกหัดแก้ปัญหา เพราะมีปัญหาทางคณิตศาสตร์บางปัญหาที่เหมาะสมสำหรับการฝึกคิดสำหรับคนทั่ว ๆ ไป เนื่องจากไม่ต้องอาศัยความรู้พิเศษหรือ ความรู้เฉพาะวิชาในระดับสูงที่เกี่ยวกับปัญหานั้น ๆมาใช้ในการแก้ปัญหาแต่อย่างใด

ตัวอย่างของปัญหาดังกล่าว ได้แก่

1. การคูณจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปของตัวแปร

2. การบวกจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปของตัวแปร

3. การหารจำนวนที่เขียนอยู่ในรูปของตัวแปร

รูปแบบที่ได้มาตรงกับคำตอบที่ท่านคิดได้หรือเปล่า ปัญหาทั้งสามตัวอย่างที่กล่าวมานี้ อาจจะยากเกินไปสำหรับบางท่านที่ไม่เคยพบกับปัญหาประเภทนี้มาก่อน ซึ่งทำให้ไม่รู้ว่าจะวางแผนหรือหาขั้นตอนอย่างไรดีในการคิด ดังนั้น จะเห็นได้ว่าในการที่จะใช้ปัญหาให้เป็นหุ่นสำหรับให้ฝึกใช้ความคิด ก็ควรจะต้องเลือกหุ่นให้เหมาะสมว่าจะให้เป็นหุ่นสำหรับบุคคลในระดับไหน ถ้าเป็นระดับเด็กเล็ก ๆ ก็จะต้องเลือกหุ่นที่ไม่สลับซับซ้อนนัก เพราะถ้าเลือกหุ่นที่ไม่เหมาะสำหรับฝึก เนื่องจากหุ่นนั้นอาจจะยากเกินความสามารถไป แทนที่จะเกิดประโยชน์ กลับจะกลายเป็นโทษให้เกิดอาการสมองตื้อ ส่งผลให้เกิดความเบื่อหน่าย ตลอดจนรังเกียจที่จะติดอะไรต่อไป เพราะกลัวที่จะต้องปวดหัวอีก เหมือนกับนักมวยแรกหัด ถ้าเริ่มต้นการฝึกมวยก็ให้ขึ้นชกกับนักมวยระดับแชมเปี้ยนเลยทีเดียว ก็มีแต่จะถูกน็อคลงมาท่าเดียว ไม่มีโอกาสที่จะได้ฝึกต่อไป แล้วทำให้เกิดความกลัว ความเบื่อหน่ายในการฝึก ยกเว้นคนที่มีพรสวรรค์ติดตัวมาเท่านั้นที่จะทำให้มุมานะทำต่อไปได้จนสำเร็จ ซึ่งคนประเภทนี้ไม่ว่าจะฝึกด้วยวิธีใด ก็จะสำเร็จทั้งนั้น แต่คนทั่ว ๆ ไปมักจะทำไม่ได้ ดังนั้น การเลือกหุ่นที่เหมาะสม จึงมีส่วนสำคัญในการพัฒนาขั้นตอนในการใช้ความคิดให้เป็นระบบ และมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น ปัญหาที่อาจใช้เป็นหุ่นสำหรับอุ่นเครื่องผู้ที่จะเริ่มฝึกใหม่ ๆ เพื่อให้คุ้นเคยกับการคิดและการมองหารูปแบบได้ ปัญหาทั้งหมดที่ยกมาข้างต้นนี้เป็นปัญหาที่มีเพียงคำตอบเดียว แต่ปัญหาในลักษณะนี้ มีบางปัญหาที่มีคำตอบได้หลายคำตอบ ซึ่งบางปัญหาก็ง่าย แต่ส่วนใหญ่แล้ว ปัญหาที่มีหลายคำตอบจะคิดยากกว่าปัญหาที่มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว แต่ก็นับว่าเป็นปัญหาที่ท้าทายพอสมควร สำหรับท่านที่เป็นครู ท่านอาจจะใช้ปัญหาที่กล่าวมานี้แทรกในระหว่างการเรียนการสอนในวิชาต่างๆ ได้ ไม่จำกัดเฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งนอกจากจะช่วยให้นักเรียนได้ฝึกสมองแล้ว ยังช่วยเปลี่ยนบรรยากาศในการเรียนการสอนด้วยสำหรับผู้ที่ไม่ได้เกี่ยวข้องในวงการศึกษา นอกจากจะใชัปัญหาเหล่านี้เป็นเครื่องฝึกสมองแล้ว บางครั้งเมื่อท่านอยู่เงียบเหงาคนเดียวไม่มีงานทำ ก็อาจจะใช้เป็นเพื่อนแก้เหงาได้ อย่างน้อยก็ยังดีกว่า "อยู่เปล่า ๆ" จริงไหม

---

* ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์