คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา

ปัญหาแบบมีโครงสร้าง (structure problem)

ปัญหาในโลกนี้เป็นปัญหาที่เกิดจากการผสมผสานของตัวแปรจำนวนมาก มีทั้งตัวแปรที่มีรูปธรรมและไม่มีรูปธรรม ตัวแปรที่มีรูปธรรมได้แก่ วัตถุ เงิน สถานที่ เป็นต้น สำหรับตัวแบบที่ไม่เป็นรูปธรรม เช่น ความรู้สึก อารมย์ และสิ่งที่เป็นความคิด ความเข้าใจ ประสบการณ์ ซึ่งยากที่จะเขียนออกเป็นสูตรหรือสมการ สิ่งที่สำคัญคือ ปัญหาส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อน การแบ่งแยกปัญหาออกเป็นปัญหาที่มีโครงสร้าง และไม่มีโครงสร้าง จึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เกี่ยวโยงกับปัญหา นั่นเอง ปัญหาที่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่สามารถผูกตัวปัญหาเป็นโมเดลได้ชัดเจน สามารถแทนสูตร สมการ หรือสร้างระบบการแทนปัญหา หาวิธีการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้คำตอบ ปัญหาที่มีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีการศึกษา และสร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ได้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์สร้างหลักการพื้นฐานต่าง ๆ มากมายที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหา ซึ่งศาสตร์ของการแก้ปัญหาและวิธีการก็มีผู้พัฒนาคิดค้นขึ้นมากมาย และยังคงพัฒนาต่อไป เช่น การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด การหาคำตอบที่เป็นไปได้ และการสร้างทางเลือกที่ดี วิธีการแก้ปัญหาจึงเป็นการใช้วิธีการเชิงคำนวณอยู่มาก

อย่างไรก็ดี การมีคอมพิวเตอร์ทำให้การคำนวณค่าต่าง ๆ คำนวณได้รวดเร็ว ปัญหาต่าง ๆ ที่แต่เดิมยากที่จะหาคำตอบได้ ปัจจุบันก็ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์คำนวณหาคำตอบ ทำให้การประยุกต์ใช้ทำได้มากมายเช่น การตรวจสอบบางอย่างทางการแพทย์ การประมวลผลงาน ก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจากการคำนวณ ปัญหาแบบมีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีเพียงส่วนน้อยนิดเมื่อเทียบกับปัญหาทั้งหมดที่เผชิญอยู่ในชีวิต แต่ปัญหาที่มีโครงสร้างก็สร้างความมั่นใจให้กับผู้ดำเนินการและตัดสินใจ เพราะมีความแน่นอนในหลักการทางวิชาการ ทำให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง และให้ผลดีกับผู้ตัดสินใจ การเรียนรู้การแก้ปัญหาแบบมีโครงสร้างจึงต้องอาศัยหลักและทฤษฎีต่าง ๆ มากมาย ลองนึกถึงโจทย์ปัญหาต่าง ๆ เช่น ถ้าจะเลือกของสองสิ่งที่ราคาต่างกัน จะเลือกอะไรดี โดยตัดความชอบออก เราก็จะต้องหาทางตัดสินปัญหา ถ้าเป็นปัญหาแบบโครงสร้างเราก็คงดูที่ราคาและประโยชน์ใช้สอยตลอดจนคุณภาพของสินค้านั้น ถ้าประโยชน์ใช้สอยสามารถบอกเป็นตัวเลขได้ คุณภาพก็บอกถึงอายุการใช้งานได้ การตัดสินใจเลือกคงไม่ยาก เพราะเป็นปัญหาแบบโครงสร้าง แต่เราจะพบว่ามีเงื่อนไขความพอใจ หรือเงื่อนไขบางอย่างไม่สามารถประเมินเป็นตัวเลขได้ จึงยากที่จะสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เพื่อคิดคำนวณหาผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างของปัญหาโครงสร้าง เช่น หากเราเป็นผู้ผลิตสินค้าชนิดหนึ่ง โดยตั้งราคาขายไว้ที่ 100 บาทต่อหน่วย การลงทุนผลิตสินค้าชนิดนี้ประกอบด้วยต้นทุนคงที่ เช่น ค่าแม่พิมพ์สำหรับฉีดพลาสติก ค่าดำเนินการออกแบบผลิตภัณฑ์ ต้นทุนคงที่ใช้ทั้งหมด 200,000 บาท การผลิตยังต้องใช้วัตถุดิบซึ่งเป็นต้นทุนผันตามการผลิต โดยมีต้นทุนแปรผันส่วนนี้เท่ากับ 20 บาทต่อหน่วย คำถามมีอยู่ว่า จะต้องผลิตและขายให้ได้เท่าไรจึงจะคุ้มทุน โดยสมมุติว่า จุดต่ำสุดที่ผลิตและขายได้ทั้งหมด

ปัญหานี้เป็นปัญหาการหาจุดคุ้มทุนที่รู้จักกันดี ที่สามารถสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย โดยให้

	P	เป็นราคาขายต่อหน่วย
	R	เป็นรายรับจากการขาย
	N	เป็นจำนวนที่ผลิต
ดังนั้น	R	=   PN
และ	F	เป็นต้นทุนคงที่
และ	V	เป็นต้นทุนผันแปรต่อหน่วย
	TC	คือต้นทุนรวม
ดังนั้น	TC	= VN + F

การที่จะต้องให้ได้เท่าทุน   R   =  TC   หรือ
PN = VN + F
เราสามารถคำนวณหาคำ   N   ได้
100	N	=	20N + 200000
80	N	=	200,000
	N	=	2,500 หน่วย
เมื่อนำปัญหานี้มาเขียนกราฟ โดย แกน X แทนจำนวนหน่วย   แกน Y แทนจำนวนเงิน ลักษณะของกราฟแสดงให้เห็นจุดคุ้มทุน หรือจุดที่ได้กำไรเป็น 0การเขียนกราฟทำให้ง่ายต่อการตัดสินใจ และทำให้ทราบว่า ถ้าผลิตและขายได้จำนวนเท่าไร จึงจะได้กำไรหรือขาดทุน ทำให้การตัดสินใจทำได้ง่ายขึ้น

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง ปัญหาส่วนใหญ่ที่พบเห็นกันทั่วไปเป็นปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง ปัญหาทั่วไปที่พบจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความนึกคิดและอารมณ์ เช่น ปัญหาชีวิต ปัญหาระหว่างบุคคล ปัญหาความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในสังคมหรือแม้แต่ปัญหาการเมือง ปัญหาระหว่างประเทศ ลักษณะของปัญหาไม่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่ไม่สามารถแทนด้วยสูตรหรือสมการทางคณิตศาสตร์ได้ การแก้ปัญหาแบบนี้จึงอยู่ที่ประสบการณ์และความจัดเจนในชีวิต ผู้ที่มีประสบการณ์หรือมองโลกที่กว้างไกล มีความรอบรู้และมีทักษะย่อมจะแก้ปัญหาแบบนี้ได้ดี ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง โดยพื้นฐานของปัญหาแบบนี้เป็นปัญหาแบบไม่เป็นโครงสร้าง แต่สามารถใช้ข้อมูลข่าวสารที่เกี่ยวข้องประกอบกับเป็นโมเดลเพื่อสนับสนุนการตัดสินใจ อย่างไรก็ดีการตัดสินใจส่วนใหญ่จะยังใช้ประสบการณ์จากผู้ตัดสินใจเป็นหลัก การแบ่งแยกชนิดปัญหาเป็นแบบโครงสร้าง แบบไม่มีโครงสร้างและแบบกึ่งโครงสร้าง พอแบ่งแยกตัวอย่างที่เป็นปัญหาสำหรับองค์กรและการบริหารงานในองค์กร เช่น ชนิดปัญหา งานการปฏิบัติงาน งานควบคุมการปฏิบัติงาน งานวางแผน งานกลยุทธ์ ปัญหาแบบมีโครงสร้าง ระบบบัญชีในองค์กร ระบบการสั่งซื้อ ระบบงานขาย งานวิเคราะห์งบประมาณ งานบุคคล งานวิเคราะห์งบดุล งานจัดการการเงิน งานกำหนดนโยบายองค์กร ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง งานวางแผนจัดลำดับการผลิต งานควบคุมสินค้าคงคลัง งานจัดเตรียมงบประมาณ งานบริหารโครงการ งานสร้างโรงงานใหม่ งานสร้างผลิตภัณฑ์ใหม่ งานควบคุมคุณภาพ ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง งานออกแบบปกวารสาร งานเลือกซื้อซอฟต์แวร์ งานตกลงหรือต่อรอง งานวานแผนการวิจัย งานปัญหาทางสังคม ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา