พัฒนาการความคิดทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์กับการพัฒนาโลกมนุษย์

จากการศึกษาค้นคว้าวิจัยของนักวิทยาศาสตร์ ทำให้พบว่ามีหลากหลายทฤษฎีว่าด้วยการกำเนิดจักรวาล  โลก และการเกิดของระบบสุริยะในกลุ่มดาวขนาดใหญ่ที่เรียกว่า แกแลกซี ระบบสุริยะที่เราอาศัยนี้อยู่ในกลุ่มของแกแลกซี่ของเรา (our galaxy) ซึ่งก็คือทางช้างเผือกที่เราเห็นบนท้องฟ้ายามค่ำคืน

กล่าวกันว่ามีการระเบิดครั้งใหญ่ที่เรียกว่า บิกแบง (big bang) ทำให้กลุ่มก๊าซพวยพุ่งออกไปเป็นบริเวณกว้าง และค่อย ๆ รวมตัวกันเป็นดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ โลกที่เราอาศัยอยู่นี้มีจุดกำเนิดเมื่อประมาณ 4,600 ล้านปี หลังจากนั้นอีกหลายร้อยล้านปี กลุ่มไอน้ำที่อยู่บนโลกค่อย ๆ จับตัวและเกิดฝนตกครั้งใหญ่ ทำให้มีแหล่งน้ำและมหาสมุทร พัฒนาการของสิ่งมีชีวิตค่อย ๆ ก่อร่างขึ้น จากสิ่งมีชีวิตที่เป็นแบบเซลเดียว พัฒนาการมาเป็นพืช และสัตว์ในเวลาต่อมา            จนระยะเวลาประมาณห้าร้อยล้านปีที่แล้ว มีสิ่งมีชีวิตที่เป็นพืช แพร่หลายและปกคลุมทั่วโลก ขณะเดียวกันพัฒนาการของสัตว์ก็ค่อย ๆ เกิดขึ้น จากสัตว์ที่อาศัยอยู่ในน้ำ เป็นสัตว์เลื้อยคลานประเภทไดโนเสาร์ นก
            สัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ำนมมีพัฒนาการหลังสุด เมื่อประมาณห้าสิบล้านปีที่แล้วมีสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ำนมหลากหลายชนิด แม้กระทั่งลิงโบราณก็มีอายุการกำเนิดในช่วงนี้
            จากหลักวิวัฒนาการของชาร์ล ดาร์วิน พบว่า วิวัฒนาการของสิ่งมีชีวิตพัฒนาตามสิ่งแวดล้อมเพื่อการอยู่รอด กล่าวกันว่าต้นกำเนิดของมนุษย์น่าจะอยู่ในช่วงระยะเวลาประมาณห้าล้านปีที่แล้ว จากการขุดค้นโครงกระดูกมนุษย์ประวัติศาสตร์ที่มีอายุเก่าแก่ที่สุดที่ชวา ซึ่งคาดคะเนว่ามีอายุประมาณ 1-2 ล้านปีที่แล้ว นักโบราณคดียังขุดค้นพบมนุษย์ปักกิ่งที่ในถ้ำ ไม่ไกลจากกรุงปักกิ่งของจีนในปัจจุบัน และให้ชื่อว่ามนุษย์ปักกิ่ง จากการสันนิษฐานอายุของโครงกระดูกน่าจะอยู่ในช่วงราว 7 แสนปีที่แล้ว
            จากหลักฐานทางประวัติศาสตร์พบว่า มนุษย์ในสมัยนั้นอาศัยอยู่ในถ้ำ วิวัฒนาการความรู้ความสามารถในวิชาการยังไม่มีอะไรมากนัก และด้วยโครงร่างของมนุษย์ที่ไม่มีอาวุธประจำกายที่ดี ความอยู่รอดจึงต้องใช้สมอง ใช้ความรู้ ความสามารถสั่งสมกันมา มิฉะนั้นจะไม่สามารถดำรงเผ่าพันธุ์สืบต่อกันมาได้ การดำรงชีวิตจึงต้องอาศัยศิลปวิทยาการสั่งสมมา เริ่มจากการรู้จักกับการใช้หิน หรือวัสดุธรรมชาติมาทำเครื่องใช้ ทำเป็นอาวุธ สามารถใช้ไฟ จนกระทั่งถึงยุคโลหะ และการสร้างบ้านเรือน
            ในช่วงห้าแสนปีที่แล้ว วิทยาการต่าง ๆ ยังไม่มีอะไรมาก การดำรงชีวิตภายในถ้ำก็ไม่แตกต่างอะไรกับสัตว์ป่าทั่วไป ใช้ระบบสื่อสารด้วยท่าทาง จนกระทั่งเมื่อประมาณห้าหมื่นปีที่แล้วที่มนุษย์สามารถพัฒนาความรู้จนมีภาษาพูด สามารถสื่อสารถึงกันได้ด้วยคำพูด
            จากหลักฐานอารยธรรมโบราณต่าง ๆ พบว่า มนุษย์เริ่มสั่งสมวิชาการเป็นตัวอักษรแทนคำพูดได้ เมื่อไม่กี่พันปีมานี้เอง ตัวอักษรที่จารึกในหลุมฝังศพฟาโรห์ กษัตริย์อียิปต์โบราณมีอายุในช่วงประมาณห้าพันปี หรือแม้แต่ตัวอักษรรูปภาพของจีนที่ใช้แทนคำพูดก็มีอายุประมาณห้าพันปีเช่นเดียวกัน
            เมื่อมนุษย์รู้จักกับการใช้ตัวอักษรแทนคำพูด ก็ทำให้การเก็บข้อมูลวิชาการต่าง ๆ เกิดขึ้นได้ มีการจารึกลงบนหิน บนหลักศิลาต่าง ๆ มีการบันทึกลงที่ฝาผนัง จนในที่สุดชาวอียิปต์โบราณรู้จักการนำต้นกก (papyrus) มาทำเป็นกระดาษ และชาวจีนก็สามารถสร้างกระดาษจากไม้ไผ่ จากฝ้ายเป็นแผ่นผ้า การจารึกวิชาการต่าง ๆ จึงเริ่มมากขึ้น
            การบันทึกวิชาการกระทำกันอย่างจริงจัง และมีการเผยแพร่อย่างมากขึ้น มีมาไม่กี่ร้อยปีนี้ หลังจากที่ชาวเยอรมันรู้จักกับการผลิตแท่นพิมพ์พิมพ์หนังสือ การผลิตหนังสือจึงเปลี่ยนจากการเขียนด้วยมือลงบนสมุดข่อย หรือลงบนศิลาหรือผ้า มาเป็นระบบการพิมพ์ที่มีคุณภาพดีกว่าและสามารถพิมพ์ได้เป็นจำนวนมาก
            การสื่อสารโทรคมนาคมเพื่อเผยแพร่ข่าวสารหรือติดต่อสื่อสารระหว่างกัน เป็นการพัฒนาในยุคต่อมา วิทยาการเริ่มจากมาร์โคนี่สามารถส่งรหัสมอร์สข้ามมหาสมุทรแอตแลนติกได้สำเร็จ จนต่อมามีระบบวิทยุโทรเลข มีโทรศัพท์ และมีการกระจายข่าวสารทางวิทยุโทรทัศน์ ยุคอิเล็กทรอนิกส์เป็นยุคของการกระจายความรอบรู้อย่างมากได้เริ่มขึ้น เมื่อประมาณห้าสิบปีที่แล้วนี้เอง โดยมีการผลิตคอมพิวเตอร์ ผลิตอุปกรณ์สื่อสารข้อมูลต่าง ๆ มากมาย จนในที่สุดกลายเป็นระบบสื่อสารที่สามารถสื่อสารกันได้ทั่วโลก
            ในปี พ.ศ. 2534  อินเทอร์เน็ตเริ่มเป็นที่แพร่หลาย มีการพัฒนาเครือข่ายความรู้ที่เรียกว่า เวิร์ลไวด์เว็บ (WWW) และขยายต่อการประยุกต์ใช้งานอย่างกว้างขวางจนมีบทบาทที่สำคัญต่อการเปลี่ยนแปลงวิถีชีวิตบนโลกนี้
            วิทยาการในยุคห้าปีหลังนี้จึงเป็นวิทยาการที่มีเครือข่ายของความรู้ต่าง ๆ มีการเชื่อมโยงสร้างโลกจินตนาการที่เรียกว่า ไซเบอร์สเปซ สร้างจินตนาการในลักษณะเสมือน (Virtual) มากมาย วิทยาการความรู้ในปัจจุบันจึงเป็นวิทยาการที่มีความหลากหลาย และมีผลกระทบต่อการเรียนรู้ในยุคใหม่อย่างมาก
ตารางที่ 1  พัฒนาการทางด้านวิทยาการและการถ่ายทอดความรอบรู้ของมนุษย์

ระยะเวลา	ลักษณะที่สำคัญ
5000 ล้านปี	โลกเกิดขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของระบบสุริยะ
500 ล้านปี	มีสิ่งมีชีวิตบนโลก
50 ล้านปี	มีสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
5 ล้านปี	เริ่มมีมนุษย์บนโลก
500000 ปี	มนุษย์อาศัยในถ้ำ สื่อสารด้วยท่าทาง
50000 ปี	มีความรู้ ความเข้าใจการใช้ภาษาพูดสื่อสาร
5000 ปี	มีการสร้างตัวหนังสือ บันทึกเรื่องราวต่าง ๆ
500 ปี	สามารถพิมพ์หนังสือได้
50 ปี	ก้าวเข้าสู่ยุคอิเล็กทรอนิกส์ มีคอมพิวเตอร์ระบบสื่อสารโทรคมนาคม
5 ปี	อินเทอร์เน็ตเป็นที่แพร่หลาย

            จากตารางที่ 1  เห็นได้ชัดว่าพัฒนาการทางด้านวิทยาการ มีวิวัฒนาการมายาวนาน แต่ในช่วงหลังเพียงไม่กี่ปีนี้ วิชาการต่าง ๆ ได้พัฒนาไปมาก มีการใช้เทคโนโลยีที่เกี่ยวข้องกับการประมวลผลคอมพิวเตอร์คือระบบคอมพิวเตอร์เพื่อเก็บรวบรวมข้อมูลข่าวสาร ประมวลผล แยกแยะ รวมถึงการผลิตข่าวสารต่าง ๆ ใช้เทคโนโลยีสื่อสารโทรคมนาคมเพื่อการขนส่งและโอนย้าย กระจายข่าวสารไปยังที่ต่าง ๆ ได้อย่างรวดเร็ว

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

ความคิดทางคณิตศาสตร์ยุคบาบิโลเนีย

ชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์อยู่กับธรรมชาติ เมื่อธรรมชาติเปลี่ยนแปลงไป การเฝ้าสังเกตเห็นการเปลี่ยนแปลงตามหลักความจริงต่าง ๆ ก็ทำให้เกิดความรู้ เช่น เมื่อสังเกตเห็นพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศหนึ่งเป็นประจำทุกวัน และตกอีกด้านหนึ่งก็สามารถกำหนดทิศเป็นทิศตะวันออก คือทิศที่พระอาทิตย์ขึ้น มีการกำหนดเป็นทิศเหนือ ใต้ และรับรู้เรื่องเวลา โดยสังเกตเวลาที่พระอาทิตย์ขึ้น และเวียนรอบครบอีกหนึ่งครั้งโดยแบ่งเป็นวัน มีการแบ่งเวลาเป็นชั่วโมงและนาที  ต่อมาเมื่อสังเกตต่อไปนาน ๆ ก็พบเรื่องราวฤดูกาล รู้ว่าสามารถแบ่งฤดูกาลแบ่งเป็นปี โดยสังเกตว่าการเปลี่ยนแปลงของฤดูกาลขึ้นกับธรรมชาติ โดยมีดวงอาทิตย์เปลี่ยนตำแหน่งการขึ้นที่ขอบฟ้าทีละนิด โดยเลื่อนไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ จนถึงเดือนมิถุนายน ประมาณวันที่ 21-22 มิถุนายน พระอาทิตย์ขึ้นเยื้องไปทางทิศเหนือมากสุด และเลื่อนกลับมาทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ จนถึงประมาณวันที่ 21-22 ธันวาคม พระอาทิตย์เลื่อนมาขึ้นทางทิศตะวันออกเฉียงใต้มากสุด และวนเวียนกลับไปมา จนทำให้มนุษย์เข้าใจในเรื่องฤดูกาลและมีการแบ่งขอบเขตของเวลาเป็นปี มีการแบ่งหน่วยย่อยตามสภาพของเดือน ซึ่งถือเอาสภาพของดวงอาทิตย์อยู่ในตำแหน่งดาวตามจักรราศี เป็นเดือนต่าง ๆ          จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษย์ในยุคบาบิโลน ซึ่งอยู่ในช่วงเวลาประมาณห้าพันปีที่แล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมที่เก่าแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้ำเฟรติส และยูเฟรติส ได้ใช้ตัวเลขการนับด้วยฐานหกสิบ และแบ่งหน่วยเวลาเป็นมาตรา 60  ดังที่เราใช้กันมาในเรื่องเวลา และใช้แบ่งวงกลมเป็นองศา ฟิลิปดา เป็นต้น
          ชาวบาบิโลนมีระบบการนับจำนวนที่ก้าวหน้า โดยไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ เพราะตัวเลขฐานสิบมีการแบ่งจำนวนที่ลงตัวเพียง 2 กับ 5 แต่ชาวบาบิโลนใช้ตัวเลข 60 ซึ่งมีการแบ่งจำนวนลงตัวได้ถึง 10 ตัวเลข ชาวบาบิโลนแบ่งเวลาในหนึ่งวันเป็น 24 ชั่วโมง ทุก ๆ ชั่วโมงมี 60 นาที ทุก ๆ นาทีมี 60 วินาที   ถ้าจะเขียนตัวเลขแทนเวลาจะเขียนได้เป็น 5h 25' 30" มีความหมายว่า 5 ชั่วโมง 25 นาที 30 วินาที หรือเขียนในฐาน 60 เป็น 5 25/60 30/3600 ซึ่งถ้าเขียนเป็นตัวเลขฐานสิบจะได้ 5 4/10  2/100  5/1000
          ชีวิตความเป็นอยู่ของคนเกี่ยวข้องกับการนับและปริมาณ หน่วยนับจึงมีความสำคัญ เพราะการสื่อสารเพื่อจะบอกปริมาณระหว่างกันจำเป็นต้องมีหน่วยนับ ลองจินตนาการดูว่ามนุษย์ชาวบาบิโลเนียยังไม่รู้จักกับตัวเลขทศนิยม รู้จักแต่จำนวนเต็ม และมีฐานหกสิบ หลักฐานที่สำคัญที่ยืนยันว่าชาวบาบิโลเนียใช้เลขฐานหกสิบ ก็คือมีการค้นพบตารางคำนวณที่ลุ่มน้ำยูเฟรติสในปี ค.ศ. 1854 ตารางที่พบเป็นตารางตัวเลขยกกำลังสอง เช่น 8² = 1  4 ซึ่งมีความหมายเป็น 8² = 1  4 = 1 x 60 + 4 = 64 หรือตัวอย่าง 59² = 58  1 (=58 x 60 + 1 = 3481)
          สิ่งที่น่าประหลาดใจคือ ชาวบาบิโลเนียรู้จักวิธีการคูณและหารตัวเลขแล้ว แต่การคูณและหารตัวเลขยังมีลักษณะที่ใช้ตารางยกกำลังสองของตัวเลขที่ทำขึ้น โดยสมมุติว่า ต้องการคูณตัวเลข a และ b
          ชาวบาบิโลเนียใช้หลักการของการยกกำลังสองของตัวเลขที่ได้จากตาราง  โดยใช้หลักการ

a.b = ((a+b)2-a2-b2)/2

จากหลักการนี้เขียนได้ -->

a.b = (a+b)2/4 - (a-b)2/4

                      เช่น ถ้าต้องการผลลัพธ์ของ      5.3   จะได้    (64/4)  -  4/4  =  15
          ชาวบาบิโลเนียจะทำการคูณตัวเลขจึงต้องใช้ตารางของตัวเลขยกกำลังสองที่ทำขึ้น อย่างไรก็ดีการหารตัวเลขเป็นขบวนการที่ยุ่งยากกว่า เพราะการหารของชาวบาบิโลเนียใช้หลักการของตัวเลขฐานหกสิบเป็นหลัก โดยไม่มีเรื่องของทศนิยม (ตามหลักฐานสิบแบบปัจจุบัน)
      เพื่อทำการหารตัวเลข ชาวบาบิโลเนียใช้หลักการ

a/b = a.(1/b)

      ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่า ต้องการส่วนกลับของตัวเลข b เพื่อที่จะนำมาใช้ในการคูณต่อไป ตารางส่วนกลับของตัวเลขเป็นดังนี้

2	30
3	20
4	15
5	12
6	10
8	7	30
9	6	40
10	6
12	5
15	4
16	3	45
18	3	0
20	3
24	2	30
25	2	24
27	2	13	20

          ชาวบาบิโลเนียใช้วิธีการหารเป็นตัวเลข ดังตัวอย่าง
                                      2/3   =   2.(1/3)    =   2.(20/60)    =    40/60
          หรืออาจจะเขียนเป็น - 40 เพราะแบ่งจำนวนเต็ม 1 ออกเป็น 60 ส่วนย่อย
          ลองจินตนาการดูว่าชีวิตความเป็นอยู่ของชาวบาบิโลเนียที่เกี่ยวข้องกับเลขฐานหกสิบ แม้แต่หน่วยเงินก็เป็น 60 และแบ่งย่อยเป็นหกสิบ แต่หากแบ่งส่วนย่อยบางส่วนลงไป เช่น 1/13 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 7/91 ซึ่งถ้าคิดโดยประมาณก็จะเป็น 7/90

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

ความคิดทางคณิตศาสตร์ยุคสมัยอิยิปต์และโรมัน             ความคิดทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคต่อจากบาบิโลน มาเป็นอารยธรรมที่ลุ่มแม่น้ำไนล์ในประเทศอิยิปต์ สิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่คือปิรามิด ที่แสดงความสามารถของคนในยุคนั้น ชาวอียิปต์รู้จักกับการจารึกและเขียนลงบนแผ่นที่ทำจากต้นกก (papyrus) มีการใช้อักษรรูปภาพแสดงเรื่องราวต่าง ๆ
            ความเกี่ยวโยงทางความคิดก็ยังคงเกี่ยวกับธรรมชาติและวิถีความเป็นอยู่ หน่วยนับของชาวอียิปต์ยังคงใช้เลขจำนวนเต็ม และใช้เศษส่วน ดังนั้นตัวเลขทศนิยมยังไม่มีใช้ จากหลักฐานที่พบบนแผ่นพาไพรัสที่บ่งบอกว่า กษัตริย์ทรงพระนามว่า Ahmes ได้จารึก เรื่องราวเกี่ยวกับการคูณไว้ตั้งแต่เมื่อ 1650 ปีก่อนคริสต์ศักราช  แผ่นจารึกดังกล่าว เป็นตารางการคูณเลข 41 และ 59

	41    x    59
ตัวเลขเริ่มต้น --> 1+1 --> 2+2 --> 4+4 --> 8+8 --> 16+16 --> 32+32 -->	1 59 2 118 4 236 8 472 16 944 32 1888 64 3776	<-- ตัวเลขที่ต้องการคูณ <-- 59+59 <-- 118+118 <-- 236+236 <-- 472+472 <-- 944+944 <-- 1888+1888

            โดยที่ตัวเลข 41 มีค่าอยู่ระหว่าง 32 กับ 64 ดังนั้นจึงใช้วิธีการลบอย่างง่าย ๆ โดยนำค่าทางซ้ายมือของตารางที่มีค่าเท่ากัน หรือน้อยกว่ามาลบ แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาทำการลบต่อไป ดังนี้

41 - 32	=   9
9 - 8	=   1
1 - 1	=   0

            ดังนั้นการคูณ 59 ด้วย 41 จึงใช้หลักการ
                                                         41 = 32 + 8 +1
            โดยวิธีการบวกตัวเลขของตาราง ดังนี้

1	59
2	118
4	236
8	472
16	944
32	1888
64	3776

ผลลัพธ์

59+472+1888 = 2419

            ระบบการนับจำนวน เปลี่ยนแปลงมาใช้ฐานสิบ เพราะเหตุผลความคุ้นเคยกับการใช้นิ้วมือในการสื่อสาร เมื่อนิ้วมือมีสิบนิ้ว ระบบตัวเลขเบื้องต้นจึงใช้ตัวเลขสิบตัว และใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบในยุคต่อมา
            หากโลกของอีทีในภาพยนตร์มีนิ้วมือรวมกัน 8 นิ้ว โลกของอีทีก็น่าจะใช้ตัวเลขฐาน 8 ในการสื่อสารแสดงค่าจำนวนกัน
            ระบบการนับจำนวนจึงไม่จำเป็นต้องยึดติดกับฐานตัวเลขฐานใดฐานหนึ่ง เช่น เมื่อถึงยุคอิเล็กทรอนิกส์ ยุคที่คอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทมากขึ้น การใช้งานในยุคอิเล็กทรอนิกส์เป็นเครื่องคำนวณ ใช้หลักการแทนตัวเลข ด้วยระดับสัญญาณไฟฟ้าสองระดับ ซึ่งแทนตัวเลข 0 และ 1 การคำนวณในระบบคอมพิวเตอร์จึงใช้หลักการของตัวเลขฐานสอง ระบบตัวเลขฐานสองจึงมีคุณค่าในยุคสมัยที่เครื่องคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทที่สำคัญ

ตัวเลขฐานสิบ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ตัวเลขฐานสอง	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

            ดังนั้นระบบจำนวนจึงเป็นเรื่องของธรรมชาติที่มนุษย์ต้องการใช้ในการนับจำนวน เพื่อจะได้ทราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวันได้มากมายมหาศาล ลองนึกดูว่าชีวิตเราขึ้นอยู่กับจำนวนอะไรบ้าง ตั้งแต่เกิดจนวาระสุดท้าย ชีวิตความเป็นอยู่เกี่ยวข้องกับตัวเลขทั้งสิ้น เราใช้ทรัพยากรทุกอย่างในการดำรงชีวิตเกี่ยวข้องกับจำนวนทั้งสิ้น
            การใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน มีพัฒนาการที่ต่อเนื่อง เช่น ชาวอิยิปต์โบราณ ใช้ขีดแทนตัวเลข ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100
ตัวเลขอียิปต์	|	||	|||	||||	|||  ||	||| |||	||||  |||	|||| ||||	||| ||| |||

 
            สำหรับชาวโรมัน มีวิธีการเขียนตัวเลขแทนจำนวนที่ต่างกัน ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	50	100	500
ตัวเลขโรมัน	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	L	C	D

            สำหรับชาวจีนมีการใช้อักขระจีนแทนตัวเลขจำนวนมานานแล้ว และยังคงใช้จนถึงปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000
ตัวเลขจีน

 ถ้ายี่สิบก็เขียนเป็น 
             ที่น่าสังเกตคือในสังคมความเป็นอยู่ของแต่ละชาติจะคุ้นเคยกับตัวเลขต่างกัน เช่น ในหลักการของทางตะวันตก ใช้ตัวเลข เป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น 10000 ก็เรียก สิบพัน 100000 ก็เรียก หนึ่งร้อยพัน และถ้าเป็นล้านก็จะมีการแทน แต่ในสังคมจีน   ญี่ปุ่น   ใช้การนับตัวเลขถึงหลักหมื่น ถ้าจะแทนแสนก็จะเรียกว่าสิบหมื่น เป็นต้น
             ขอบเขตของตัวเลข หรือการนับจำนวนในสมัยอียิปต์ และโรมันยังไม่มีเลขศูนย์ และยังไม่ใช้ค่าทศนิยม แต่จะใช้เศษส่วนเป็นหลัก ดังนั้นชาวอียิปต์โบราณจะเปรียบเทียบขนาดจำนวนของเศษส่วนได้คล่องกว่า ลองนึกดูว่า ถ้าเราได้เลขเศษส่วนหลาย ๆ จำนวน จะจัดเรียงจากมากไปหาน้อยได้อย่างไร
             ในปัจจุบันเราใช้เลขทศนิยม หรือเลขฐานสิบที่มีการเพิ่มจำนวนเป็นสิบเท่าของแต่ละหลัก และมีการแทนจำนวนที่มีค่าน้อยมากหรือมาก ๆ ได้ด้วยขนาดเป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น

10	100	1,000	10,000	1,000,000	1,000,000,000	1,000,000,000,000
ten	hundred	thousand	ten thousand	million	billion	trillion

            สำหรับทางด้านวิทยาศาสตร์ที่มีการแทนตัวเลขจำนวน เราใช้

จำนวนที่มีค่ามากขึ้น กิโล =   103 เมกะ =   106 จิกะ =   109 เทรา =   1012

จำนวนที่มีค่าน้อยลง มิลลิ =   10-3 ไมโคร =   10-6 นาโน =   10-9 พิโค =   10-12

               การแทนตัวเลขจำนวน จึงหันมาใช้ระบบการนับจำนวนแบบฐานสิบ และใช้ระบบทศนิยม ทำให้สะดวกต่อการใช้ การเปรียบเทียบ และสร้างความคุ้นเคย หรือนำมาใช้ประโยชน์ในทางสื่อสารกันได้ง่าย
             แหล่งอารยธรรมของอียิปต์ที่เหลือให้เห็นจนถึงปัจจุบัน คือ ปิรามิด ชาวอียิปต์มีความเชื่อเกี่ยวกับชีวิตหลังการตาย เขาเชื่อว่าเมื่อผู้คนตาย ดวงวิญญาณยังคงอาศัยอยู่ในโลก ดังนั้นชาวอียิปต์จึงยังคงเก็บร่างไว้ หลุมฝังศพของชาวอียิปต์จึงเป็นเรื่องสำคัญ มีวิทยาการเก็บรักษาร่างไว้ ที่เรียกว่า มัมมี่
             วิทยาการทางด้านความคิด และการคำนวณได้รับการนำมาใช้ในการสร้างปิรามิด ซึ่งเป็นหลุมฝังพระศพของกษัตริย์ ปิรามิดที่มีชื่อเสียงและยังถือว่าเป็นสิ่งมหัศจรรย์ของโลกสิ่งหนึ่ง คือปิรามิดที่เมืองกิซ่า ซึ่งอยู่ทางฝั่งตะวันตกของแม่น้ำไนล์ การคำนวณของชาวอียิปต์มีความก้าวหน้ามาก โดยหลักฐานจากกลุ่มปิรามิดที่กิซ่า สามปิรามิด มีความลาดเอียงด้วยมุม 51 องศา 51 ลิบดา    52 องศา 20 ลิบดา และ 51 องศา ซึ่งความลาดเอียงนี้ถือได้ว่าเท่ากัน
             จากหลักฐานแผ่นจารึก Rhind Papyrus ที่มีชื่อเสียง เพราะเป็นแผ่นจารึกบนกระดาษต้นกก ที่ทำขึ้นในสมัยฟาโรห์ โดยมีปัญหาและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 87 ปัญหา ทำให้ทราบวิธีการคำนวณตัวเลขต่าง ๆ ของชาวอียิปต์ ชาวอียิปต์ยังคงใช้ตัวเลขจำนวนเต็ม และคิดแบบเศษส่วน มีวิธีการคิดแบบเศษส่วนที่น่าสนใจมาก
             มาตราวัดความยาวของชาวอียิปต์ก็อาศัยชีวิตความเป็นอยู่ และสิ่งแวดล้อมเป็นหน่วยวัดความยาว หน่วยวัดที่ชาวอียิปต์ใช้เป็นดังนี้

cubit	เป็นระยะความยาวของข้อศอกจนถึงปลายนิ้วกลาง ซึ่งแต่ละคนจะมีความยาวไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงมีการวางมาตรฐาน cubit ขึ้นมา คือ               royal cubit มีความยาวประมาณ 20.6 นิ้ว               short cubit มีความยาวประมาณ 17.72 นิ้ว  ต่อมาชาวกรีกใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 18.22 นิ้ว  ชาวโรมันใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 17.47 นิ้ว
palm	คือระยะ 1/7 cubit
finger	คือระยะ 1/4 palm ดังนั้น 1 cubit มีค่าเท่ากับ 28 finger
hayt	มีค่าความยาวเท่ากับ 100 cubits
remen	คือระยะทางครึ่งหนึ่งของเส้นทะแยงของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้านแต่ละด้านเท่ากับ 1 cubit
khet	เป็นการวัดความยาวเพื่อคำนวณพื้นที่ โดย 1 khet มีค่าเท่ากับ 10000 cubit และ 1 setat คือหนึ่ง square khet
hekat	เป็นมาตราปริมาตรที่ใช้ตวงวัดความจุของข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ ซึ่งหนึ่ง hekat มีค่าประมาณ 292.24 ลูกบาศก์นิ้ว
hinu	มีค่าประมาณ 1/10 ของ hekat
khar	มีค่าเท่ากับ 20 hekats

             ความเป็นอยู่ของผู้คนเกี่ยวข้องกับการทำการเกษตร การเพาะปลูก เมื่อดำเนินการตั้งถิ่นที่อยู่อาศัย ก็ต้องมีการคำนวณพื้นที่ มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและฤดูกาล เมื่อเพาะปลูกได้ก็ต้องรับรู้ปริมาณผลผลิตที่ได้รับ จึงมีการตวงข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ และเป็นที่มาของมาตราต่าง ๆ ที่ใช้
             ลองนึกดูว่า ทำไมชาวบาบิโลเนียจึงแบ่งเวลาออกเป็น 24 ชั่วโมงเท่ากับหนึ่งวัน และยังเข้าใจฤดูกาล
             ชาวอียิปต์ ได้แบ่งฤดูกาลออกเป็นสามฤดูกาล โดยแบ่งเดือนออกเป็น 12 เดือน เดือนละ 30 วัน และมีเดือนหนึ่งมีค่าเท่ากับ 35 วัน หรือหนึ่งปีของชาวอียิปต์มีค่าเท่ากับ 365 วัน ได้ค่าเกือบเท่ากับการหมุนของโลกรอบดวงอาทิตย์ ชาวอียิปต์แบ่งฤดูกาลเป็น 3 ฤดู คือ ฤดูการเพาะหว่าน (sowing)  ฤดูการเจริญเติบโต (growing)  และฤดูการเก็บเกี่ยว (harvest)
             ชีวิตความเป็นอยู่ของชนทุกชาติจะคุ้นเคยกับหน่วยปริมาณ และมาตราวัดที่แตกต่างกันออกไป
             ชาวไทยคุ้นเคยกับมาตราวัดระยะทางแบบ คืบ ศอก วา เส้น มาก่อน ทำให้หน่วยวัดพื้นที่เป็นไร่  เป็นงาน อย่างไรก็ดีหน่วยวัดปริมาตรของไทยที่คุ้นเคยเดิมคือเป็นถัง เกวียน หรือแม้แต่การแบ่งเวลาก็มีการแบ่งเป็นโมง เป็นยาม
             ในแต่ละชาติ แต่ละภาษาจึงมีมาตรฐานปริมาณของตนเอง มีหน่วยเงินตรา หรือหน่วยใช้ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ที่แตกต่างกัน แต่เมื่อมีการคบค้าสมาคมกันระหว่างประเทศ มีการค้าขายแลกเปลี่ยน ทำให้การดำเนินชีวิตที่ต้องมีมาตรฐานกลาง หรือหน่วยวัดกลางและเป็นที่ยอมรับกันทั่วโลก
             เช่นหน่วยวัดที่ใช้สากลในเรื่องของเวลา วันที่ ระยะทาง ปริมาตร น้ำหนัก หรือแม้แต่มาตรฐานพิเศษบางอย่างที่เกิดขึ้นมาพร้อมกับการพัฒนาเทคโนโลยี เช่น หน่วยวัดปริมาณกระแสไฟฟ้า วัดพลังงาน เป็นต้น

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์พัฒนาการความคิดทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา

ปัญหาแบบมีโครงสร้าง (structure problem)

ปัญหาในโลกนี้เป็นปัญหาที่เกิดจากการผสมผสานของตัวแปรจำนวนมาก มีทั้งตัวแปรที่มีรูปธรรมและไม่มีรูปธรรม ตัวแปรที่มีรูปธรรมได้แก่ วัตถุ เงิน สถานที่ เป็นต้น สำหรับตัวแบบที่ไม่เป็นรูปธรรม เช่น ความรู้สึก อารมย์ และสิ่งที่เป็นความคิด ความเข้าใจ ประสบการณ์ ซึ่งยากที่จะเขียนออกเป็นสูตรหรือสมการ สิ่งที่สำคัญคือ ปัญหาส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อน การแบ่งแยกปัญหาออกเป็นปัญหาที่มีโครงสร้าง และไม่มีโครงสร้าง จึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เกี่ยวโยงกับปัญหา นั่นเอง ปัญหาที่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่สามารถผูกตัวปัญหาเป็นโมเดลได้ชัดเจน สามารถแทนสูตร สมการ หรือสร้างระบบการแทนปัญหา หาวิธีการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้คำตอบ ปัญหาที่มีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีการศึกษา และสร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ได้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์สร้างหลักการพื้นฐานต่าง ๆ มากมายที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหา ซึ่งศาสตร์ของการแก้ปัญหาและวิธีการก็มีผู้พัฒนาคิดค้นขึ้นมากมาย และยังคงพัฒนาต่อไป เช่น การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด การหาคำตอบที่เป็นไปได้ และการสร้างทางเลือกที่ดี วิธีการแก้ปัญหาจึงเป็นการใช้วิธีการเชิงคำนวณอยู่มาก

อย่างไรก็ดี การมีคอมพิวเตอร์ทำให้การคำนวณค่าต่าง ๆ คำนวณได้รวดเร็ว ปัญหาต่าง ๆ ที่แต่เดิมยากที่จะหาคำตอบได้ ปัจจุบันก็ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์คำนวณหาคำตอบ ทำให้การประยุกต์ใช้ทำได้มากมายเช่น การตรวจสอบบางอย่างทางการแพทย์ การประมวลผลงาน ก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจากการคำนวณ ปัญหาแบบมีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีเพียงส่วนน้อยนิดเมื่อเทียบกับปัญหาทั้งหมดที่เผชิญอยู่ในชีวิต แต่ปัญหาที่มีโครงสร้างก็สร้างความมั่นใจให้กับผู้ดำเนินการและตัดสินใจ เพราะมีความแน่นอนในหลักการทางวิชาการ ทำให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง และให้ผลดีกับผู้ตัดสินใจ การเรียนรู้การแก้ปัญหาแบบมีโครงสร้างจึงต้องอาศัยหลักและทฤษฎีต่าง ๆ มากมาย ลองนึกถึงโจทย์ปัญหาต่าง ๆ เช่น ถ้าจะเลือกของสองสิ่งที่ราคาต่างกัน จะเลือกอะไรดี โดยตัดความชอบออก เราก็จะต้องหาทางตัดสินปัญหา ถ้าเป็นปัญหาแบบโครงสร้างเราก็คงดูที่ราคาและประโยชน์ใช้สอยตลอดจนคุณภาพของสินค้านั้น ถ้าประโยชน์ใช้สอยสามารถบอกเป็นตัวเลขได้ คุณภาพก็บอกถึงอายุการใช้งานได้ การตัดสินใจเลือกคงไม่ยาก เพราะเป็นปัญหาแบบโครงสร้าง แต่เราจะพบว่ามีเงื่อนไขความพอใจ หรือเงื่อนไขบางอย่างไม่สามารถประเมินเป็นตัวเลขได้ จึงยากที่จะสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เพื่อคิดคำนวณหาผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างของปัญหาโครงสร้าง เช่น หากเราเป็นผู้ผลิตสินค้าชนิดหนึ่ง โดยตั้งราคาขายไว้ที่ 100 บาทต่อหน่วย การลงทุนผลิตสินค้าชนิดนี้ประกอบด้วยต้นทุนคงที่ เช่น ค่าแม่พิมพ์สำหรับฉีดพลาสติก ค่าดำเนินการออกแบบผลิตภัณฑ์ ต้นทุนคงที่ใช้ทั้งหมด 200,000 บาท การผลิตยังต้องใช้วัตถุดิบซึ่งเป็นต้นทุนผันตามการผลิต โดยมีต้นทุนแปรผันส่วนนี้เท่ากับ 20 บาทต่อหน่วย คำถามมีอยู่ว่า จะต้องผลิตและขายให้ได้เท่าไรจึงจะคุ้มทุน โดยสมมุติว่า จุดต่ำสุดที่ผลิตและขายได้ทั้งหมด

ปัญหานี้เป็นปัญหาการหาจุดคุ้มทุนที่รู้จักกันดี ที่สามารถสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย โดยให้

	P	เป็นราคาขายต่อหน่วย
	R	เป็นรายรับจากการขาย
	N	เป็นจำนวนที่ผลิต
ดังนั้น	R	=   PN
และ	F	เป็นต้นทุนคงที่
และ	V	เป็นต้นทุนผันแปรต่อหน่วย
	TC	คือต้นทุนรวม
ดังนั้น	TC	= VN + F

การที่จะต้องให้ได้เท่าทุน   R   =  TC   หรือ
PN = VN + F
เราสามารถคำนวณหาคำ   N   ได้
100	N	=	20N + 200000
80	N	=	200,000
	N	=	2,500 หน่วย
เมื่อนำปัญหานี้มาเขียนกราฟ โดย แกน X แทนจำนวนหน่วย   แกน Y แทนจำนวนเงิน ลักษณะของกราฟแสดงให้เห็นจุดคุ้มทุน หรือจุดที่ได้กำไรเป็น 0การเขียนกราฟทำให้ง่ายต่อการตัดสินใจ และทำให้ทราบว่า ถ้าผลิตและขายได้จำนวนเท่าไร จึงจะได้กำไรหรือขาดทุน ทำให้การตัดสินใจทำได้ง่ายขึ้น

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง ปัญหาส่วนใหญ่ที่พบเห็นกันทั่วไปเป็นปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง ปัญหาทั่วไปที่พบจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความนึกคิดและอารมณ์ เช่น ปัญหาชีวิต ปัญหาระหว่างบุคคล ปัญหาความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในสังคมหรือแม้แต่ปัญหาการเมือง ปัญหาระหว่างประเทศ ลักษณะของปัญหาไม่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่ไม่สามารถแทนด้วยสูตรหรือสมการทางคณิตศาสตร์ได้ การแก้ปัญหาแบบนี้จึงอยู่ที่ประสบการณ์และความจัดเจนในชีวิต ผู้ที่มีประสบการณ์หรือมองโลกที่กว้างไกล มีความรอบรู้และมีทักษะย่อมจะแก้ปัญหาแบบนี้ได้ดี ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง โดยพื้นฐานของปัญหาแบบนี้เป็นปัญหาแบบไม่เป็นโครงสร้าง แต่สามารถใช้ข้อมูลข่าวสารที่เกี่ยวข้องประกอบกับเป็นโมเดลเพื่อสนับสนุนการตัดสินใจ อย่างไรก็ดีการตัดสินใจส่วนใหญ่จะยังใช้ประสบการณ์จากผู้ตัดสินใจเป็นหลัก การแบ่งแยกชนิดปัญหาเป็นแบบโครงสร้าง แบบไม่มีโครงสร้างและแบบกึ่งโครงสร้าง พอแบ่งแยกตัวอย่างที่เป็นปัญหาสำหรับองค์กรและการบริหารงานในองค์กร เช่น ชนิดปัญหา งานการปฏิบัติงาน งานควบคุมการปฏิบัติงาน งานวางแผน งานกลยุทธ์ ปัญหาแบบมีโครงสร้าง ระบบบัญชีในองค์กร ระบบการสั่งซื้อ ระบบงานขาย งานวิเคราะห์งบประมาณ งานบุคคล งานวิเคราะห์งบดุล งานจัดการการเงิน งานกำหนดนโยบายองค์กร ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง งานวางแผนจัดลำดับการผลิต งานควบคุมสินค้าคงคลัง งานจัดเตรียมงบประมาณ งานบริหารโครงการ งานสร้างโรงงานใหม่ งานสร้างผลิตภัณฑ์ใหม่ งานควบคุมคุณภาพ ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง งานออกแบบปกวารสาร งานเลือกซื้อซอฟต์แวร์ งานตกลงหรือต่อรอง งานวานแผนการวิจัย งานปัญหาทางสังคม ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา